Lös 3x+5y=8text{and}x-2y=-1

$$3 x + 5 y = 8 \text { and } x - 2 y = - 1$$

Lös ut x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$3x+5y=8$$

Subtrahera 5y från båda ekvationsled.

$$3x=-5y+8$$

Dividera båda led med 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+8\right)$$

Multiplicera \frac{1}{3} med -5y+8.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}$$

Ersätt x med \frac{-5y+8}{3} i den andra ekvationen, x-2y=-1.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}-2y=-1$$

Addera -\frac{5y}{3} till -2y.

$$-\frac{11}{3}y+\frac{8}{3}=-1$$

Subtrahera \frac{8}{3} från båda ekvationsled.

$$-\frac{11}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Dela båda ekvationsled med -\frac{11}{3}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$y=1$$

Ersätt y med 1 i x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=\frac{-5+8}{3}$$

Addera \frac{8}{3} till -\frac{5}{3} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=1$$

Systemet har lösts.

$$x=1,y=1$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-2\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{5}{11}\left(-1\right)\\\frac{1}{11}\times 8-\frac{3}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=1,y=1$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Gör 3x och x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 1 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 3.

$$3x+5y=8,3x+3\left(-2\right)y=3\left(-1\right)$$

Förenkla.

$$3x+5y=8,3x-6y=-3$$

Subtrahera 3x-6y=-3 från 3x+5y=8 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$3x-3x+5y+6y=8+3$$

Addera 3x till -3x. Termerna 3x och -3x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$5y+6y=8+3$$

Addera 5y till 6y.

$$11y=8+3$$

Addera 8 till 3.

$$11y=11$$

Dividera båda led med 11.

$$y=1$$

Ersätt y med 1 i x-2y=-1. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x-2=-1$$

Addera 2 till båda ekvationsled.

$$x=1$$

Systemet har lösts.

$$x=1,y=1$$