Lös 3x+5=x^2+1

$$3 x + 5 = x ^ { 2 } + 1$$

Lös ut x

$$x=-1$$

$$x=4$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Subtrahera 1 från båda led.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Subtrahera 1 från 5 för att få 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Skriv om polynomen på standardform. Ordna termerna från högsta till lägsta grad.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Lös ekvationen genom att faktorisera den vänstra delen med gruppering. Först måste den vänstra sidan skrivas om som -x^{2}+ax+bx+4. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=3 ab=-4=-4$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -4.

$$-1,4 -2,2$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Lösningen är det par som ger Summa 3.

$$a=4 b=-1$$

Skriv om -x^{2}+3x+4 som \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Bryt ut -x i den första och -1 i den andra gruppen.

$$-x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-4 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-4\right)\left(-x-1\right)$$

Lös x-4=0 och -x-1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=4 x=-1$$

Steg med lösningsformeln

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Subtrahera 1 från båda led.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Subtrahera 1 från 5 för att få 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 3 och c med 4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 9 till 16.

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 25.

$$x=\frac{-3±5}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-3±5}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±5}{-2} när ± är plus. Addera -3 till 5.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Dela 2 med -2.

$$x=-1$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±5}{-2} när ± är minus. Subtrahera 5 från -3.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

Dela -8 med -2.

$$x=4$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-1 x=4$$

Steg för kvadratkomplettering

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Subtrahera 5 från båda led.

$$3x-x^{2}=1-5$$

Subtrahera 5 från 1 för att få -4.

$$3x-x^{2}=-4$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=-4$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{4}{-1}$$

Dela 3 med -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{4}{-1}$$

Dela -4 med -1.

$$x^{2}-3x=4$$

Dividera -3, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Addera 4 till \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktorisera x^{2}-3x+\frac{9}{4}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Addera \frac{3}{2} till båda ekvationsled.

$$x=4 x=-1$$