Lös 3x+2y=8text{and}5x-4y=6

$$3 x + 2 y = 8 \text { and } 5 x - 4 y = 6$$

Lös ut x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$3x+2y=8$$

Subtrahera 2y från båda ekvationsled.

$$3x=-2y+8$$

Dividera båda led med 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

Multiplicera \frac{1}{3} med -2y+8.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Ersätt x med \frac{-2y+8}{3} i den andra ekvationen, 5x-4y=6.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)-4y=6$$

Multiplicera 5 med \frac{-2y+8}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}-4y=6$$

Addera -\frac{10y}{3} till -4y.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{40}{3}=6$$

Subtrahera \frac{40}{3} från båda ekvationsled.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{22}{3}$$

Dela båda ekvationsled med -\frac{22}{3}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$y=1$$

Ersätt y med 1 i x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

Addera \frac{8}{3} till -\frac{2}{3} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=2$$

Systemet har lösts.

$$x=2,y=1$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{5}{22}\times 8-\frac{3}{22}\times 6\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=2,y=1$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Gör 3x och 5x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 5 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 8,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

Förenkla.

$$15x+10y=40,15x-12y=18$$

Subtrahera 15x-12y=18 från 15x+10y=40 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$15x-15x+10y+12y=40-18$$

Addera 15x till -15x. Termerna 15x och -15x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$10y+12y=40-18$$

Addera 10y till 12y.

$$22y=40-18$$

Addera 40 till -18.

$$22y=22$$

Dividera båda led med 22.

$$y=1$$

Ersätt y med 1 i 5x-4y=6. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$5x-4=6$$

Addera 4 till båda ekvationsled.

$$5x=10$$

Dividera båda led med 5.

$$x=2$$

Systemet har lösts.

$$x=2,y=1$$