Lös 3q^2-19q+16=0

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

Lös ut q

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5,333333333$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Lös ekvationen genom att faktorisera den vänstra delen med gruppering. Först måste den vänstra sidan skrivas om som 3q^{2}+aq+bq+16. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Lösningen är det par som ger Summa -19.

$$a=-16 b=-3$$

Skriv om 3q^{2}-19q+16 som \left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right).

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

Bryt ut q i den första och -1 i den andra gruppen.

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3q-16 genom att använda distributivitet.

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

Lös 3q-16=0 och q-1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -19 och c med 16 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Kvadrera -19.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med 16.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

Addera 361 till -192.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 169.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

Motsatsen till -19 är 19.

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$q=\frac{19±13}{6}$$

Lös nu ekvationen q=\frac{19±13}{6} när ± är plus. Addera 19 till 13.

$$q=\frac{32}{6}$$

Minska bråktalet \frac{32}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$q=\frac{16}{3}$$

Lös nu ekvationen q=\frac{19±13}{6} när ± är minus. Subtrahera 13 från 19.

$$q=\frac{6}{6}$$

Dela 6 med 6.

$$q=1$$

Ekvationen har lösts.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Subtrahera 16 från båda ekvationsled.

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

Subtraktion av 16 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3q^{2}-19q=-16$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

Dividera -\frac{19}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{19}{6}. Addera sedan kvadraten av -\frac{19}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{19}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

Addera -\frac{16}{3} till \frac{361}{36} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

Faktorisera q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Förenkla.

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

Addera \frac{19}{6} till båda ekvationsled.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$