Lös 3p^2-8p+5=0

$$3 p ^ { 2 } - 8 p + 5 = 0$$

Lös ut p

$$p=1$$

$$p = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 3p^{2}+ap+bp+5. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-8 ab=3\times 5=15$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Lösningen är det par som ger Summa -8.

$$a=-5 b=-3$$

Skriv om 3p^{2}-8p+5 som \left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right).

$$\left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right)$$

Utfaktor p i den första och den -1 i den andra gruppen.

$$p\left(3p-5\right)-\left(3p-5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3p-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(3p-5\right)\left(p-1\right)$$

Lös 3p-5=0 och p-1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -8 och c med 5 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Kvadrera -8.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med 5.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 3}$$

Addera 64 till -60.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 4.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 3}$$

Motsatsen till -8 är 8.

$$p=\frac{8±2}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$p=\frac{8±2}{6}$$

Lös nu ekvationen p=\frac{8±2}{6} när ± är plus. Addera 8 till 2.

$$p=\frac{10}{6}$$

Minska bråktalet \frac{10}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$p=\frac{5}{3}$$

Lös nu ekvationen p=\frac{8±2}{6} när ± är minus. Subtrahera 2 från 8.

$$p=\frac{6}{6}$$

Dela 6 med 6.

$$p=1$$

Ekvationen har lösts.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Subtrahera 5 från båda ekvationsled.

$$3p^{2}-8p+5-5=-5$$

Subtraktion av 5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3p^{2}-8p=-5$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3p^{2}-8p}{3}=-\frac{5}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p=-\frac{5}{3}$$

Dividera -\frac{8}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{4}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{4}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{4}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{16}{9}$$

Addera -\frac{5}{3} till \frac{16}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktorisera p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Förenkla.

$$p-\frac{4}{3}=\frac{1}{3} p-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$$

Addera \frac{4}{3} till båda ekvationsled.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$