Lös 3n^2-7n+14=0

$$3 n ^ { 2 } - 7 n + 14 = 0$$

Lös ut n

$$n=\frac{7+\sqrt{119}i}{6}\approx 1,166666667+1,818118686i$$

$$n=\frac{-\sqrt{119}i+7}{6}\approx 1,166666667-1,818118686i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3n^{2}-7n+14=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -7 och c med 14 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 14}}{2\times 3}$$

Kvadrera -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 14}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 14}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med 14.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-168}}{2\times 3}$$

Addera 49 till -168.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-119}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur -119.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{119}i}{2\times 3}$$

Motsatsen till -7 är 7.

$$n=\frac{7±\sqrt{119}i}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$n=\frac{7±\sqrt{119}i}{6}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{7±\sqrt{119}i}{6} när ± är plus. Addera 7 till i\sqrt{119}.

$$n=\frac{7+\sqrt{119}i}{6}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{7±\sqrt{119}i}{6} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{119} från 7.

$$n=\frac{-\sqrt{119}i+7}{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$n=\frac{7+\sqrt{119}i}{6} n=\frac{-\sqrt{119}i+7}{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-7n+14=0$$

Subtrahera 14 från båda ekvationsled.

$$3n^{2}-7n+14-14=-14$$

Subtraktion av 14 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3n^{2}-7n=-14$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3n^{2}-7n}{3}=-\frac{14}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n=-\frac{14}{3}$$

Dividera -\frac{7}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{7}{6}. Addera sedan kvadraten av -\frac{7}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{14}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{7}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n+\frac{49}{36}=-\frac{14}{3}+\frac{49}{36}$$

Addera -\frac{14}{3} till \frac{49}{36} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n+\frac{49}{36}=-\frac{119}{36}$$

Faktorisera n^{2}-\frac{7}{3}n+\frac{49}{36}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{119}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{36}}$$

Förenkla.

$$n-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{119}i}{6} n-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{119}i}{6}$$

Addera \frac{7}{6} till båda ekvationsled.

$$n=\frac{7+\sqrt{119}i}{6} n=\frac{-\sqrt{119}i+7}{6}$$