Lös 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Lös ut n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 3n^{2}+an+bn-15. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Lösningen är det par som ger Summa -4.

$$a=-9 b=5$$

Skriv om 3n^{2}-4n-15 som \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Utfaktor 3n i den första och den 5 i den andra gruppen.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen n-3 genom att använda distributivitet.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Lös n-3=0 och 3n+5=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -4 och c med -15 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera -4.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Addera 16 till 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

Motsatsen till -4 är 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{4±14}{6} när ± är plus. Addera 4 till 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Dela 18 med 6.

$$n=3$$

Lös nu ekvationen n=\frac{4±14}{6} när ± är minus. Subtrahera 14 från 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Minska bråktalet \frac{-10}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Addera 15 till båda ekvationsled.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Subtraktion av -15 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Subtrahera -15 från 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Dela 15 med 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Dividera -\frac{4}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{2}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{2}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{2}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Addera 5 till \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktorisera n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Förenkla.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Addera \frac{2}{3} till båda ekvationsled.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$