Lös 3n^2+47n-232=5

$$3 n ^ { 2 } + 47 n - 232 = 5$$

Lös ut n

$$n = \frac{\sqrt{5053} - 47}{6} \approx 4,014076135$$

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}\approx -19,680742802$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Subtrahera 5 från båda ekvationsled.

$$3n^{2}+47n-232-5=5-5$$

Subtraktion av 5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3n^{2}+47n-232-5=0$$

Subtrahera 5 från -232.

$$3n^{2}+47n-237=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 47 och c med -237 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera 47.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-12\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -237.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209+2844}}{2\times 3}$$

Addera 2209 till 2844.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} när ± är plus. Addera -47 till \sqrt{5053}.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{5053} från -47.

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Addera 232 till båda ekvationsled.

$$3n^{2}+47n-232-\left(-232\right)=5-\left(-232\right)$$

Subtraktion av -232 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3n^{2}+47n=5-\left(-232\right)$$

Subtrahera -232 från 5.

$$3n^{2}+47n=237$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3n^{2}+47n}{3}=\frac{237}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=\frac{237}{3}$$

Dela 237 med 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=79$$

Dividera \frac{47}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{47}{6}. Addera sedan kvadraten av \frac{47}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}=79+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{47}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=79+\frac{2209}{36}$$

Addera 79 till \frac{2209}{36}.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=\frac{5053}{36}$$

Faktorisera n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}=\frac{5053}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5053}{36}}$$

Förenkla.

$$n+\frac{47}{6}=\frac{\sqrt{5053}}{6} n+\frac{47}{6}=-\frac{\sqrt{5053}}{6}$$

Subtrahera \frac{47}{6} från båda ekvationsled.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$