Lös 3k-2h=-14text{and}2k-5h=-13

$$3 k - 2 h = - 14 \text { and } 2 k - 5 h = - 13$$

Lös ut k, h

$$k=-4$$

$$h=1$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$3k-2h=-14,2k-5h=-13$$

Välj en av ekvationerna och lös den för k genom att isolera k till vänster om likhets tecknet.

$$3k-2h=-14$$

Addera 2h till båda ekvationsled.

$$3k=2h-14$$

Dividera båda led med 3.

$$k=\frac{1}{3}\left(2h-14\right)$$

Multiplicera \frac{1}{3} med -14+2h.

$$k=\frac{2}{3}h-\frac{14}{3}$$

Ersätt k med \frac{-14+2h}{3} i den andra ekvationen, 2k-5h=-13.

$$2\left(\frac{2}{3}h-\frac{14}{3}\right)-5h=-13$$

Multiplicera 2 med \frac{-14+2h}{3}.

$$\frac{4}{3}h-\frac{28}{3}-5h=-13$$

Addera \frac{4h}{3} till -5h.

$$-\frac{11}{3}h-\frac{28}{3}=-13$$

Addera \frac{28}{3} till båda ekvationsled.

$$-\frac{11}{3}h=-\frac{11}{3}$$

Dela båda ekvationsled med -\frac{11}{3}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$h=1$$

Ersätt h med 1 i k=\frac{2}{3}h-\frac{14}{3}. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut k direkt.

$$k=\frac{2-14}{3}$$

Addera -\frac{14}{3} till \frac{2}{3} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$k=-4$$

Systemet har lösts.

$$k=-4,h=1$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$3k-2h=-14,2k-5h=-13$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-13\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}3&-2\\2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\h\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-13\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\h\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-13\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}k\\h\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-13\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}k\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-13\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}k\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}&-\frac{2}{11}\\\frac{2}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-13\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}k\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}\left(-14\right)-\frac{2}{11}\left(-13\right)\\\frac{2}{11}\left(-14\right)-\frac{3}{11}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}k\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen k och h.

$$k=-4,h=1$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$3k-2h=-14,2k-5h=-13$$

Gör 3k och 2k lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 2 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 3.

$$2\times 3k+2\left(-2\right)h=2\left(-14\right),3\times 2k+3\left(-5\right)h=3\left(-13\right)$$

Förenkla.

$$6k-4h=-28,6k-15h=-39$$

Subtrahera 6k-15h=-39 från 6k-4h=-28 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$6k-6k-4h+15h=-28+39$$

Addera 6k till -6k. Termerna 6k och -6k tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-4h+15h=-28+39$$

Addera -4h till 15h.

$$11h=-28+39$$

Addera -28 till 39.

$$11h=11$$

Dividera båda led med 11.

$$h=1$$

Ersätt h med 1 i 2k-5h=-13. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut k direkt.

$$2k-5=-13$$

Addera 5 till båda ekvationsled.

$$2k=-8$$

Dividera båda led med 2.

$$k=-4$$

Systemet har lösts.

$$k=-4,h=1$$