Lös 3-2x=ytext{and}3x+y=-3

$$3 - 2 x = y \text { and } 3 x + y = - 3$$

Lös ut x, y

$$x=-6$$

$$y=15$$

Steg med substitution

Överväg den första ekvationen. Subtrahera y från båda led.

$$3-2x-y=0$$

Subtrahera 3 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$-2x-y=-3$$

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$-2x-y=-3,3x+y=-3$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$-2x-y=-3$$

Addera y till båda ekvationsled.

$$-2x=y-3$$

Dividera båda led med -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

Multiplicera -\frac{1}{2} med y-3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Ersätt x med \frac{-y+3}{2} i den andra ekvationen, 3x+y=-3.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+y=-3$$

Multiplicera 3 med \frac{-y+3}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}+y=-3$$

Addera -\frac{3y}{2} till y.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}=-3$$

Subtrahera \frac{9}{2} från båda ekvationsled.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{15}{2}$$

Multiplicera båda led med -2.

$$y=15$$

Ersätt y med 15 i x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=-\frac{1}{2}\times 15+\frac{3}{2}$$

Multiplicera -\frac{1}{2} med 15.

$$x=\frac{-15+3}{2}$$

Addera \frac{3}{2} till -\frac{15}{2} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=-6$$

Systemet har lösts.

$$x=-6,y=15$$

Steg med matriser

Överväg den första ekvationen. Subtrahera y från båda led.

$$3-2x-y=0$$

Subtrahera 3 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$-2x-y=-3$$

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$-2x-y=-3,3x+y=-3$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}-2&-1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{-2-\left(-3\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3-3\\-3\left(-3\right)-2\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=-6,y=15$$

Steg med eliminering

Överväg den första ekvationen. Subtrahera y från båda led.

$$3-2x-y=0$$

Subtrahera 3 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$-2x-y=-3$$

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$-2x-y=-3,3x+y=-3$$

Gör -2x och 3x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 3 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med -2.

$$3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y=3\left(-3\right),-2\times 3x-2y=-2\left(-3\right)$$

Förenkla.

$$-6x-3y=-9,-6x-2y=6$$

Subtrahera -6x-2y=6 från -6x-3y=-9 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$-6x+6x-3y+2y=-9-6$$

Addera -6x till 6x. Termerna -6x och 6x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-3y+2y=-9-6$$

Addera -3y till 2y.

$$-y=-9-6$$

Addera -9 till -6.

$$-y=-15$$

Dividera båda led med -1.

$$y=15$$

Ersätt y med 15 i 3x+y=-3. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$3x+15=-3$$

Subtrahera 15 från båda ekvationsled.

$$3x=-18$$

Dividera båda led med 3.

$$x=-6$$

Systemet har lösts.

$$x=-6,y=15$$