Lös 3z^2+9z+6=0

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

Lös ut z

$$z=-2$$

$$z=-1$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Dividera båda led med 3.

$$z^{2}+3z+2=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som z^{2}+az+bz+2. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Det enda sådana paret är systemlösningen.

$$a=1 b=2$$

Skriv om z^{2}+3z+2 som \left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right).

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

Utfaktor z i den första och den 2 i den andra gruppen.

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen z+1 genom att använda distributivitet.

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

Lös z+1=0 och z+2=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$z=-1 z=-2$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 9 och c med 6 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Kvadrera 9.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med 6.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Addera 81 till -72.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 9.

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{-9±3}{6} när ± är plus. Addera -9 till 3.

$$z=-\frac{6}{6}$$

Dela -6 med 6.

$$z=-1$$

Lös nu ekvationen z=\frac{-9±3}{6} när ± är minus. Subtrahera 3 från -9.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Dela -12 med 6.

$$z=-2$$

Ekvationen har lösts.

$$z=-1 z=-2$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Subtrahera 6 från båda ekvationsled.

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

Subtraktion av 6 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3z^{2}+9z=-6$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

Dela 9 med 3.

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

Dela -6 med 3.

$$z^{2}+3z=-2$$

Dividera 3, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Addera -2 till \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktorisera z^{2}+3z+\frac{9}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Förenkla.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Subtrahera \frac{3}{2} från båda ekvationsled.

$$z=-1 z=-2$$