Lös 3x^2-8x-15=0

$$3 { x }^{ 2 } -8x-15 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{61} + 4}{3} \approx 3,936749892$$

$$x=\frac{4-\sqrt{61}}{3}\approx -1,270083225$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}-8x-15=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -8 och c med -15 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+180}}{2\times 3}$$

Addera 64 till 180.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{244}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 244.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Motsatsen till -8 är 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} när ± är plus. Addera 8 till 2\sqrt{61}.

$$x=\frac{2\sqrt{61}+8}{6}$$

Dela 8+2\sqrt{61} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{61}+4}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{61} från 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{61}}{6}$$

Dela 8-2\sqrt{61} med 6.

$$x=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{61}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-8x-15=0$$

Addera 15 till båda ekvationsled.

$$3x^{2}-8x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Subtraktion av -15 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}-8x=-\left(-15\right)$$

Subtrahera -15 från 0.

$$3x^{2}-8x=15$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{15}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{15}{3}$$

Dela 15 med 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=5$$

Dividera -\frac{8}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{4}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{4}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{4}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=5+\frac{16}{9}$$

Addera 5 till \frac{16}{9}.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{61}{9}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{61}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{9}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{61}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{61}}{3}$$

Addera \frac{4}{3} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{61}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$