Lös 3x^2-7x-1=0

$$3 { x }^{ 2 } -7x-1=0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{61} + 7}{6} \approx 2,468374946$$

$$x=\frac{7-\sqrt{61}}{6}\approx -0,135041613$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}-7x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -7 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+12}}{2\times 3}$$

Addera 49 till 12.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Motsatsen till -7 är 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{7±\sqrt{61}}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{7±\sqrt{61}}{6} när ± är plus. Addera 7 till \sqrt{61}.

$$x=\frac{\sqrt{61}+7}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{7±\sqrt{61}}{6} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{61} från 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{61}}{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{61}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{61}}{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x-1=0$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$3x^{2}-7x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Subtraktion av -1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}-7x=-\left(-1\right)$$

Subtrahera -1 från 0.

$$3x^{2}-7x=1$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=\frac{1}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{1}{3}$$

Dividera -\frac{7}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{7}{6}. Addera sedan kvadraten av -\frac{7}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{7}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{1}{3}+\frac{49}{36}$$

Addera \frac{1}{3} till \frac{49}{36} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{61}{36}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{61}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{36}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{61}}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{61}}{6}$$

Addera \frac{7}{6} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{61}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{61}}{6}$$