Lös 3x^2-6x+4=0

$$3 { x }^{ 2 } -6x+4 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}+1\approx 1+0,577350269i$$

$$x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}+1\approx 1-0,577350269i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}-6x+4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -6 och c med 4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Kvadrera -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-12\times 4}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med 4.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-48}}{2\times 3}$$

Addera 36 till -48.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-12}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur -12.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{3}i}{2\times 3}$$

Motsatsen till -6 är 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{3}i}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{6±2\sqrt{3}i}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{6±2\sqrt{3}i}{6} när ± är plus. Addera 6 till 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{3}i}{6}$$

Dela 6+2i\sqrt{3} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}+1$$

Lös nu ekvationen x=\frac{6±2\sqrt{3}i}{6} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{3} från 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i+6}{6}$$

Dela 6-2i\sqrt{3} med 6.

$$x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}+1$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}+1$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-6x+4=0$$

Subtrahera 4 från båda ekvationsled.

$$3x^{2}-6x+4-4=-4$$

Subtraktion av 4 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}-6x=-4$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}-6x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{3}\right)x=-\frac{4}{3}$$

Dela -6 med 3.

$$x^{2}-2x=-\frac{4}{3}$$

Dividera -2, koefficienten för termen x, med 2 för att få -1. Addera sedan kvadraten av -1 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{4}{3}+1$$

Addera -\frac{4}{3} till 1.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{1}{3}$$

Faktorisera x^{2}-2x+1. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=-\frac{1}{3}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{3}}$$

Förenkla.

$$x-1=\frac{\sqrt{3}i}{3} x-1=-\frac{\sqrt{3}i}{3}$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}+1$$