Lös 3x^2-5x-4=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-4=0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{73} + 5}{6} \approx 2,257333958$$

$$x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}\approx -0,590667291$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}-5x-4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -5 och c med -4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+48}}{2\times 3}$$

Addera 25 till 48.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{73}}{2\times 3}$$

Motsatsen till -5 är 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{73}}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{5±\sqrt{73}}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±\sqrt{73}}{6} när ± är plus. Addera 5 till \sqrt{73}.

$$x=\frac{\sqrt{73}+5}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±\sqrt{73}}{6} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{73} från 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{73}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-4=0$$

Addera 4 till båda ekvationsled.

$$3x^{2}-5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Subtraktion av -4 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}-5x=-\left(-4\right)$$

Subtrahera -4 från 0.

$$3x^{2}-5x=4$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{4}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{4}{3}$$

Dividera -\frac{5}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{6}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

Addera \frac{4}{3} till \frac{25}{36} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{73}{36}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{73}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{36}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{73}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{73}}{6}$$

Addera \frac{5}{6} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{73}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}$$