Lös 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10,333333333$$

$$x=12$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 3x^{2}+ax+bx-372. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -1116.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

Lösningen är det par som ger Summa -5.

$$a=-36 b=31$$

Skriv om 3x^{2}-5x-372 som \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

Utfaktor 3x i den första och den 31 i den andra gruppen.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-12 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

Lös x-12=0 och 3x+31=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -5 och c med -372 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

Addera 25 till 4464.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 4489.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

Motsatsen till -5 är 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±67}{6} när ± är plus. Addera 5 till 67.

$$x=\frac{72}{6}$$

Dela 72 med 6.

$$x=12$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±67}{6} när ± är minus. Subtrahera 67 från 5.

$$x=-\frac{62}{6}$$

Minska bråktalet \frac{-62}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{31}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Addera 372 till båda ekvationsled.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

Subtraktion av -372 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

Subtrahera -372 från 0.

$$3x^{2}-5x=372$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

Dela 372 med 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

Dividera -\frac{5}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{6}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

Addera 124 till \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

Addera \frac{5}{6} till båda ekvationsled.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$