Lös 3x^2-5x-250=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-250=0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{25}{3} = -8\frac{1}{3} \approx -8,333333333$$

$$x=10$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 3x^{2}+ax+bx-250. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-5 ab=3\left(-250\right)=-750$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -750.

$$1,-750 2,-375 3,-250 5,-150 6,-125 10,-75 15,-50 25,-30$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-750=-749 2-375=-373 3-250=-247 5-150=-145 6-125=-119 10-75=-65 15-50=-35 25-30=-5$$

Lösningen är det par som ger Summa -5.

$$a=-30 b=25$$

Skriv om 3x^{2}-5x-250 som \left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right)$$

Utfaktor 3x i den första och den 25 i den andra gruppen.

$$3x\left(x-10\right)+25\left(x-10\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-10 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-10\right)\left(3x+25\right)$$

Lös x-10=0 och 3x+25=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -5 och c med -250 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -250.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+3000}}{2\times 3}$$

Addera 25 till 3000.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{3025}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 3025.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±55}{2\times 3}$$

Motsatsen till -5 är 5.

$$x=\frac{5±55}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{5±55}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±55}{6} när ± är plus. Addera 5 till 55.

$$x=\frac{60}{6}$$

Dela 60 med 6.

$$x=10$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±55}{6} när ± är minus. Subtrahera 55 från 5.

$$x=-\frac{50}{6}$$

Minska bråktalet \frac{-50}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{25}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Addera 250 till båda ekvationsled.

$$3x^{2}-5x-250-\left(-250\right)=-\left(-250\right)$$

Subtraktion av -250 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}-5x=-\left(-250\right)$$

Subtrahera -250 från 0.

$$3x^{2}-5x=250$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{250}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{250}{3}$$

Dividera -\frac{5}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{6}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{250}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{250}{3}+\frac{25}{36}$$

Addera \frac{250}{3} till \frac{25}{36} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{3025}{36}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{3025}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3025}{36}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{55}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{55}{6}$$

Addera \frac{5}{6} till båda ekvationsled.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$