Lös 3x^2-4x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -4x-9=0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 2}{3} \approx 2,522588121$$

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}\approx -1,189254788$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -4 och c med -9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+108}}{2\times 3}$$

Addera 16 till 108.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{124}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 124.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Motsatsen till -4 är 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} när ± är plus. Addera 4 till 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{6}$$

Dela 4+2\sqrt{31} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{31} från 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{6}$$

Dela 4-2\sqrt{31} med 6.

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Addera 9 till båda ekvationsled.

$$3x^{2}-4x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Subtraktion av -9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}-4x=-\left(-9\right)$$

Subtrahera -9 från 0.

$$3x^{2}-4x=9$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=\frac{9}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{9}{3}$$

Dela 9 med 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=3$$

Dividera -\frac{4}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{2}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{2}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{2}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=3+\frac{4}{9}$$

Addera 3 till \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{31}{9}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{31}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{9}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{31}}{3}$$

Addera \frac{2}{3} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$