Lös 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 3x^{2}+ax+bx-60. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Lösningen är det par som ger Summa -31.

$$a=-36 b=5$$

Skriv om 3x^{2}-31x-60 som \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Utfaktor 3x i den första och den 5 i den andra gruppen.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-12 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Lös x-12=0 och 3x+5=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -31 och c med -60 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Addera 961 till 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

Motsatsen till -31 är 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{31±41}{6} när ± är plus. Addera 31 till 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Dela 72 med 6.

$$x=12$$

Lös nu ekvationen x=\frac{31±41}{6} när ± är minus. Subtrahera 41 från 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Minska bråktalet \frac{-10}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Addera 60 till båda ekvationsled.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Subtraktion av -60 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Subtrahera -60 från 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Dela 60 med 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Dividera -\frac{31}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{31}{6}. Addera sedan kvadraten av -\frac{31}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{31}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Addera 20 till \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Addera \frac{31}{6} till båda ekvationsled.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$