Lös 3x^2-2x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x-9 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{2 \sqrt{7} + 1}{3} \approx 2,097167541$$

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\approx -1,430500874$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -2 och c med -9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+108}}{2\times 3}$$

Addera 4 till 108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{112}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 112.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Motsatsen till -2 är 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} när ± är plus. Addera 2 till 4\sqrt{7}.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+2}{6}$$

Dela 2+4\sqrt{7} med 6.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} när ± är minus. Subtrahera 4\sqrt{7} från 2.

$$x=\frac{2-4\sqrt{7}}{6}$$

Dela 2-4\sqrt{7} med 6.

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Addera 9 till båda ekvationsled.

$$3x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Subtraktion av -9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

Subtrahera -9 från 0.

$$3x^{2}-2x=9$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{9}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{9}{3}$$

Dela 9 med 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=3$$

Dividera -\frac{2}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=3+\frac{1}{9}$$

Addera 3 till \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{28}{9}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

Addera \frac{1}{3} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$