Lös 3x^2-2x+9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x+9 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3}\approx 0,333333333+1,699673171i$$

$$x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,699673171i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}-2x+9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -2 och c med 9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Kvadrera -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 9}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med 9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-108}}{2\times 3}$$

Addera 4 till -108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-104}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur -104.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{26}i}{2\times 3}$$

Motsatsen till -2 är 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6} när ± är plus. Addera 2 till 2i\sqrt{26}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{26}i}{6}$$

Dela 2+2i\sqrt{26} med 6.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{26} från 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{26}i+2}{6}$$

Dela 2-2i\sqrt{26} med 6.

$$x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3} x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x+9=0$$

Subtrahera 9 från båda ekvationsled.

$$3x^{2}-2x+9-9=-9$$

Subtraktion av 9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}-2x=-9$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Dela -9 med 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-3$$

Dividera -\frac{2}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-3+\frac{1}{9}$$

Addera -3 till \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{26}{9}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{26}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{26}{9}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{26}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{26}i}{3}$$

Addera \frac{1}{3} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3} x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$