Lös 3x^2-10x-8=0

$$3 { x }^{ 2 } -10x-8=0$$

Lös ut x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=4$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 3x^{2}+ax+bx-8. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Lösningen är det par som ger Summa -10.

$$a=-12 b=2$$

Skriv om 3x^{2}-10x-8 som \left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right)$$

Utfaktor 3x i den första och den 2 i den andra gruppen.

$$3x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-4 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-4\right)\left(3x+2\right)$$

Lös x-4=0 och 3x+2=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -10 och c med -8 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Addera 100 till 96.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 196.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±14}{2\times 3}$$

Motsatsen till -10 är 10.

$$x=\frac{10±14}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{10±14}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{10±14}{6} när ± är plus. Addera 10 till 14.

$$x=\frac{24}{6}$$

Dela 24 med 6.

$$x=4$$

Lös nu ekvationen x=\frac{10±14}{6} när ± är minus. Subtrahera 14 från 10.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Minska bråktalet \frac{-4}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Addera 8 till båda ekvationsled.

$$3x^{2}-10x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Subtraktion av -8 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}-10x=-\left(-8\right)$$

Subtrahera -8 från 0.

$$3x^{2}-10x=8$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{8}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$$

Dividera -\frac{10}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Addera \frac{8}{3} till \frac{25}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Addera \frac{5}{3} till båda ekvationsled.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$