Lös 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Lös ut x

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7,666666667$$

$$x=6$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Subtrahera 138 från båda led.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 3x^{2}+ax+bx-138. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -414.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

Lösningen är det par som ger Summa 5.

$$a=-18 b=23$$

Skriv om 3x^{2}+5x-138 som \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

Utfaktor 3x i den första och den 23 i den andra gruppen.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-6 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Lös x-6=0 och 3x+23=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}+5x=138$$

Subtrahera 138 från båda ekvationsled.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

Subtraktion av 138 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 5 och c med -138 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Addera 25 till 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 1681.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-5±41}{6} när ± är plus. Addera -5 till 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

Dela 36 med 6.

$$x=6$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-5±41}{6} när ± är minus. Subtrahera 41 från -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Minska bråktalet \frac{-46}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=138$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

Dela 138 med 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Dividera \frac{5}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{5}{6}. Addera sedan kvadraten av \frac{5}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{5}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Addera 46 till \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Subtrahera \frac{5}{6} från båda ekvationsled.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$