Lös 3x^2+3x+5=0

$$3 { x }^{ 2 } +3x+5=0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5+1,190238071i$$

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,190238071i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}+3x+5=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 3 och c med 5 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Kvadrera 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-60}}{2\times 3}$$

Addera 9 till -60.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-51}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur -51.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6} när ± är plus. Addera -3 till i\sqrt{51}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{51}i}{6}$$

Dela -3+i\sqrt{51} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{51} från -3.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i-3}{6}$$

Dela -3-i\sqrt{51} med 6.

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+3x+5=0$$

Subtrahera 5 från båda ekvationsled.

$$3x^{2}+3x+5-5=-5$$

Subtraktion av 5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}+3x=-5$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{5}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Dela 3 med 3.

$$x^{2}+x=-\frac{5}{3}$$

Dividera 1, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{5}{3}+\frac{1}{4}$$

Addera -\frac{5}{3} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{12}$$

Faktorisera x^{2}+x+\frac{1}{4}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{17}{12}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{12}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{51}i}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{51}i}{6}$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$