Lös 3x^2+2x-3=0

$$3 { x }^{ 2 } +2x-3 = 0$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{3}\approx 0,72075922$$

$$x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}\approx -1,387425887$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}+2x-3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 2 och c med -3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+36}}{2\times 3}$$

Addera 4 till 36.

$$x=\frac{-2±\sqrt{40}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 40.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{6} när ± är plus. Addera -2 till 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-2}{6}$$

Dela -2+2\sqrt{10} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{6} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{10} från -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-2}{6}$$

Dela -2-2\sqrt{10} med 6.

$$x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x-3=0$$

Addera 3 till båda ekvationsled.

$$3x^{2}+2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Subtraktion av -3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}+2x=-\left(-3\right)$$

Subtrahera -3 från 0.

$$3x^{2}+2x=3$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=\frac{3}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{3}{3}$$

Dela 3 med 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=1$$

Dividera \frac{2}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{3}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1+\frac{1}{9}$$

Addera 1 till \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{10}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{9}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{10}}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{3}$$

Subtrahera \frac{1}{3} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}$$