Lös 3x^2+11x=-24

$$3 { x }^{ 2 } +11x = -24$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}\approx -1,833333333+2,153807997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}\approx -1,833333333-2,153807997i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Addera 24 till båda ekvationsled.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

Subtraktion av -24 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=0$$

Subtrahera -24 från 0.

$$3x^{2}+11x+24=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 11 och c med 24 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Kvadrera 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\times 24}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med 24.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-288}}{2\times 3}$$

Addera 121 till -288.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-167}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur -167.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} när ± är plus. Addera -11 till i\sqrt{167}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{167} från -11.

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=-\frac{24}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-\frac{24}{3}$$

Dela -24 med 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-8$$

Dividera \frac{11}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{11}{6}. Addera sedan kvadraten av \frac{11}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=-8+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{11}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-8+\frac{121}{36}$$

Addera -8 till \frac{121}{36}.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-\frac{167}{36}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{167}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{167}{36}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{167}i}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{167}i}{6}$$

Subtrahera \frac{11}{6} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$