Lös 2x-2x^2=12

$$2x-2 { x }^{ 2 } = 12$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2}\approx 0,5+2,397915762i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2}\approx 0,5-2,397915762i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-2x^{2}+2x=12$$

Subtrahera 12 från båda ekvationsled.

$$-2x^{2}+2x-12=12-12$$

Subtraktion av 12 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-2x^{2}+2x-12=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -2, b med 2 och c med -12 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-2\right)\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrera 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-2\right)\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera -4 med -2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+8\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera 8 med -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-96}}{2\left(-2\right)}$$

Addera 4 till -96.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-92}}{2\left(-2\right)}$$

Dra kvadratroten ur -92.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera 2 med -2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{-4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{-4} när ± är plus. Addera -2 till 2i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{23}i}{-4}$$

Dela -2+2i\sqrt{23} med -4.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{-4} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{23} från -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{23}i-2}{-4}$$

Dela -2-2i\sqrt{23} med -4.

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+2x=12$$

Dividera båda led med -2.

$$\frac{-2x^{2}+2x}{-2}=\frac{12}{-2}$$

Division med -2 tar ut multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{2}{-2}x=\frac{12}{-2}$$

Dela 2 med -2.

$$x^{2}-x=\frac{12}{-2}$$

Dela 12 med -2.

$$x^{2}-x=-6$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-6+\frac{1}{4}$$

Addera -6 till \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{23}{4}$$

Faktorisera x^{2}-x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{23}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{23}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{23}i}{2}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2} x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2}$$