Lös 2x+1=4x^2+4x+5

$$2x+1=4 { x }^{ 2 } +4x+5$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}\approx -0,25+0,968245837i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}\approx -0,25-0,968245837i$$

Steg med lösningsformeln

Subtrahera 4x^{2} från båda led.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Subtrahera 4x från båda led.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Slå ihop 2x och -4x för att få -2x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Subtrahera 5 från båda led.

$$-2x+1-4x^{2}-5=0$$

Subtrahera 5 från 1 för att få -4.

$$-2x-4-4x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-4x^{2}-2x-4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -4, b med -2 och c med -4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrera -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera -4 med -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera 16 med -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-64}}{2\left(-4\right)}$$

Addera 4 till -64.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-60}}{2\left(-4\right)}$$

Dra kvadratroten ur -60.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Motsatsen till -2 är 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera 2 med -4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} när ± är plus. Addera 2 till 2i\sqrt{15}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{15}i}{-8}$$

Dela 2+2i\sqrt{15} med -8.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{15} från 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i+2}{-8}$$

Dela 2-2i\sqrt{15} med -8.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Subtrahera 4x^{2} från båda led.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Subtrahera 4x från båda led.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Slå ihop 2x och -4x för att få -2x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Subtrahera 1 från båda led.

$$-2x-4x^{2}=5-1$$

Subtrahera 1 från 5 för att få 4.

$$-2x-4x^{2}=4$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}-2x=4$$

Dividera båda led med -4.

$$\frac{-4x^{2}-2x}{-4}=\frac{4}{-4}$$

Division med -4 tar ut multiplikationen med -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-4}\right)x=\frac{4}{-4}$$

Minska bråktalet \frac{-2}{-4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{4}{-4}$$

Dela 4 med -4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-1$$

Dividera \frac{1}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{4}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-1+\frac{1}{16}$$

Addera -1 till \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{15}{16}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

Subtrahera \frac{1}{4} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$