Lös 27m^2-24m+20=0

$$27 m ^ { 2 } - 24 m + 20 = 0$$

Lös ut m

$$m=\frac{4+2\sqrt{11}i}{9}\approx 0,444444444+0,737027731i$$

$$m=\frac{-2\sqrt{11}i+4}{9}\approx 0,444444444-0,737027731i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$27m^{2}-24m+20=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 27, b med -24 och c med 20 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 27\times 20}}{2\times 27}$$

Kvadrera -24.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 27\times 20}}{2\times 27}$$

Multiplicera -4 med 27.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-108\times 20}}{2\times 27}$$

Multiplicera -108 med 20.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-2160}}{2\times 27}$$

Addera 576 till -2160.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-1584}}{2\times 27}$$

Dra kvadratroten ur -1584.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±12\sqrt{11}i}{2\times 27}$$

Motsatsen till -24 är 24.

$$m=\frac{24±12\sqrt{11}i}{2\times 27}$$

Multiplicera 2 med 27.

$$m=\frac{24±12\sqrt{11}i}{54}$$

Lös nu ekvationen m=\frac{24±12\sqrt{11}i}{54} när ± är plus. Addera 24 till 12i\sqrt{11}.

$$m=\frac{24+12\sqrt{11}i}{54}$$

Dela 24+12i\sqrt{11} med 54.

$$m=\frac{4+2\sqrt{11}i}{9}$$

Lös nu ekvationen m=\frac{24±12\sqrt{11}i}{54} när ± är minus. Subtrahera 12i\sqrt{11} från 24.

$$m=\frac{-12\sqrt{11}i+24}{54}$$

Dela 24-12i\sqrt{11} med 54.

$$m=\frac{-2\sqrt{11}i+4}{9}$$

Ekvationen har lösts.

$$m=\frac{4+2\sqrt{11}i}{9} m=\frac{-2\sqrt{11}i+4}{9}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$27m^{2}-24m+20=0$$

Subtrahera 20 från båda ekvationsled.

$$27m^{2}-24m+20-20=-20$$

Subtraktion av 20 från sig självt ger 0 som resultat.

$$27m^{2}-24m=-20$$

Dividera båda led med 27.

$$\frac{27m^{2}-24m}{27}=-\frac{20}{27}$$

Division med 27 tar ut multiplikationen med 27.

$$m^{2}+\left(-\frac{24}{27}\right)m=-\frac{20}{27}$$

Minska bråktalet \frac{-24}{27} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$m^{2}-\frac{8}{9}m=-\frac{20}{27}$$

Dividera -\frac{8}{9}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{4}{9}. Addera sedan kvadraten av -\frac{4}{9} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$m^{2}-\frac{8}{9}m+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}=-\frac{20}{27}+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{4}{9} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$m^{2}-\frac{8}{9}m+\frac{16}{81}=-\frac{20}{27}+\frac{16}{81}$$

Addera -\frac{20}{27} till \frac{16}{81} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$m^{2}-\frac{8}{9}m+\frac{16}{81}=-\frac{44}{81}$$

Faktorisera m^{2}-\frac{8}{9}m+\frac{16}{81}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(m-\frac{4}{9}\right)^{2}=-\frac{44}{81}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(m-\frac{4}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{44}{81}}$$

Förenkla.

$$m-\frac{4}{9}=\frac{2\sqrt{11}i}{9} m-\frac{4}{9}=-\frac{2\sqrt{11}i}{9}$$

Addera \frac{4}{9} till båda ekvationsled.

$$m=\frac{4+2\sqrt{11}i}{9} m=\frac{-2\sqrt{11}i+4}{9}$$