Lös 25x^2-90x+82=0

$$25 x ^ { 2 } - 90 x + 82 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i=1,8+0,2i$$

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i=1,8-0,2i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 25, b med -90 och c med 82 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

Kvadrera -90.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

Multiplicera -4 med 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 82}}{2\times 25}$$

Multiplicera -100 med 82.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8200}}{2\times 25}$$

Addera 8100 till -8200.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{-100}}{2\times 25}$$

Dra kvadratroten ur -100.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±10i}{2\times 25}$$

Motsatsen till -90 är 90.

$$x=\frac{90±10i}{2\times 25}$$

Multiplicera 2 med 25.

$$x=\frac{90±10i}{50}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{90±10i}{50} när ± är plus. Addera 90 till 10i.

$$x=\frac{90+10i}{50}$$

Dela 90+10i med 50.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i$$

Lös nu ekvationen x=\frac{90±10i}{50} när ± är minus. Subtrahera 10i från 90.

$$x=\frac{90-10i}{50}$$

Dela 90-10i med 50.

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

Subtrahera 82 från båda ekvationsled.

$$25x^{2}-90x+82-82=-82$$

Subtraktion av 82 från sig självt ger 0 som resultat.

$$25x^{2}-90x=-82$$

Dividera båda led med 25.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{82}{25}$$

Division med 25 tar ut multiplikationen med 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{82}{25}$$

Minska bråktalet \frac{-90}{25} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 5.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{82}{25}$$

Dividera -\frac{18}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{9}{5}. Addera sedan kvadraten av -\frac{9}{5} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{82}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{9}{5} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-82+81}{25}$$

Addera -\frac{82}{25} till \frac{81}{25} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{1}{25}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{25}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{1}{5}i x-\frac{9}{5}=-\frac{1}{5}i$$

Addera \frac{9}{5} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$