Lös 25x^2-40x+16=0

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

Lös ut x

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 25x^{2}+ax+bx+16. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Lösningen är det par som ger Summa -40.

$$a=-20 b=-20$$

Skriv om 25x^{2}-40x+16 som \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right).

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

Utfaktor 5x i den första och den -4 i den andra gruppen.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 5x-4 genom att använda distributivitet.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

Skriv om som en binomkvadrat.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

Lös 5x-4=0 för att hitta ekvationslösning.

$$x=\frac{4}{5}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 25, b med -40 och c med 16 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Kvadrera -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Multiplicera -4 med 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Multiplicera -100 med 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Addera 1600 till -1600.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Dra kvadratroten ur 0.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

Motsatsen till -40 är 40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

Multiplicera 2 med 25.

$$x=\frac{40}{50}$$

Minska bråktalet \frac{40}{50} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 10.

$$x=\frac{4}{5}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Subtrahera 16 från båda ekvationsled.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

Subtraktion av 16 från sig självt ger 0 som resultat.

$$25x^{2}-40x=-16$$

Dividera båda led med 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

Division med 25 tar ut multiplikationen med 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

Minska bråktalet \frac{-40}{25} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

Dividera -\frac{8}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{4}{5}. Addera sedan kvadraten av -\frac{4}{5} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{4}{5} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

Addera -\frac{16}{25} till \frac{16}{25} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

Faktorisera x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Förenkla.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

Addera \frac{4}{5} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

Ekvationen har lösts. Lösningarna är samma.

$$x=\frac{4}{5}$$