Lös 25x^2-19x-3=0

$$25 x ^ { 2 } - 19 x - 3 = 0$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50}\approx 0,894198405$$

$$x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}\approx -0,134198405$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$25x^{2}-19x-3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 25, b med -19 och c med -3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 25\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

Kvadrera -19.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 25\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

Multiplicera -4 med 25.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-100\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

Multiplicera -100 med -3.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+300}}{2\times 25}$$

Addera 361 till 300.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{661}}{2\times 25}$$

Motsatsen till -19 är 19.

$$x=\frac{19±\sqrt{661}}{2\times 25}$$

Multiplicera 2 med 25.

$$x=\frac{19±\sqrt{661}}{50}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{19±\sqrt{661}}{50} när ± är plus. Addera 19 till \sqrt{661}.

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{19±\sqrt{661}}{50} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{661} från 19.

$$x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50} x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-19x-3=0$$

Addera 3 till båda ekvationsled.

$$25x^{2}-19x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Subtraktion av -3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$25x^{2}-19x=-\left(-3\right)$$

Subtrahera -3 från 0.

$$25x^{2}-19x=3$$

Dividera båda led med 25.

$$\frac{25x^{2}-19x}{25}=\frac{3}{25}$$

Division med 25 tar ut multiplikationen med 25.

$$x^{2}-\frac{19}{25}x=\frac{3}{25}$$

Dividera -\frac{19}{25}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{19}{50}. Addera sedan kvadraten av -\frac{19}{50} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{19}{25}x+\left(-\frac{19}{50}\right)^{2}=\frac{3}{25}+\left(-\frac{19}{50}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{19}{50} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{19}{25}x+\frac{361}{2500}=\frac{3}{25}+\frac{361}{2500}$$

Addera \frac{3}{25} till \frac{361}{2500} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{19}{25}x+\frac{361}{2500}=\frac{661}{2500}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{19}{25}x+\frac{361}{2500}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{19}{50}\right)^{2}=\frac{661}{2500}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{50}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{661}{2500}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{19}{50}=\frac{\sqrt{661}}{50} x-\frac{19}{50}=-\frac{\sqrt{661}}{50}$$

Addera \frac{19}{50} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50} x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}$$