Lös 25n^2-30n+9

$$25 n ^ { 2 } - 30 n + 9$$

Faktorisera

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Lösningssteg

Faktorisera uttrycket genom gruppering. Först måste uttrycket skrivas om som 25n^{2}+an+bn+9. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-30 ab=25\times 9=225$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Lösningen är det par som ger Summa -30.

$$a=-15 b=-15$$

Skriv om 25n^{2}-30n+9 som \left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right).

$$\left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right)$$

Utfaktor 5n i den första och den -3 i den andra gruppen.

$$5n\left(5n-3\right)-3\left(5n-3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 5n-3 genom att använda distributivitet.

$$\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

Skriv om som en binomkvadrat.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Steg med kvadratroten ur binomial

Det här trinomet har formen av en trinomkvadrat, eventuellt multiplicerad med en gemensam faktor. Trinomkvadrater kan faktoriseras genom att beräkna kvadratrötterna för termen med högst grad och termen med lägst grad.

$$factor(25n^{2}-30n+9)$$

Hitta den största gemensamma faktorn för koefficienterna.

$$gcf(25,-30,9)=1$$

Beräkna kvadratroten av termen med högst grad, 25n^{2}.

$$\sqrt{25n^{2}}=5n$$

Beräkna kvadratroten av termen med lägst grad, 9.

$$\sqrt{9}=3$$

Trinomkvadraten är binomkvadraten som är summan av eller differensen mellan kvadratroten ur termen med högst grad och kvadratroten ur termen med lägst grad, där tecknet är tecknet för den mittersta termen i trinomkvadraten.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Steg med lösningsformeln

Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$25n^{2}-30n+9=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Kvadrera -30.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Multiplicera -4 med 25.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

Multiplicera -100 med 9.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

Addera 900 till -900.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Dra kvadratroten ur 0.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±0}{2\times 25}$$

Motsatsen till -30 är 30.

$$n=\frac{30±0}{2\times 25}$$

Multiplicera 2 med 25.

$$n=\frac{30±0}{50}$$

Faktorisera det ursprungliga uttrycket med ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Ersätt x_{1} med \frac{3}{5} och x_{2} med \frac{3}{5}.

$$25n^{2}-30n+9=25\left(n-\frac{3}{5}\right)\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

Subtrahera \frac{3}{5} från n genom att hitta en gemensam nämnare och sedan subtrahera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

Subtrahera \frac{3}{5} från n genom att hitta en gemensam nämnare och sedan subtrahera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\times \frac{5n-3}{5}$$

Multiplicera \frac{5n-3}{5} med \frac{5n-3}{5} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{5\times 5}$$

Multiplicera 5 med 5.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{25}$$

Tar ut den största gemensamma faktorn 25 i 25 och 25.

$$25n^{2}-30n+9=\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

Beräkna

$$\left(5n-3\right)^{2}$$