Lös 25x^2+250x-15000=0

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

Lös ut x

$$x=-30$$

$$x=20$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Dividera båda led med 25.

$$x^{2}+10x-600=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som x^{2}+ax+bx-600. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

Lösningen är det par som ger Summa 10.

$$a=-20 b=30$$

Skriv om x^{2}+10x-600 som \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

Utfaktor x i den första och den 30 i den andra gruppen.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-20 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

Lös x-20=0 och x+30=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=20 x=-30$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 25, b med 250 och c med -15000 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Kvadrera 250.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Multiplicera -4 med 25.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Multiplicera -100 med -15000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

Addera 62500 till 1500000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

Dra kvadratroten ur 1562500.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

Multiplicera 2 med 25.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-250±1250}{50} när ± är plus. Addera -250 till 1250.

$$x=\frac{1000}{50}$$

Dela 1000 med 50.

$$x=20$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-250±1250}{50} när ± är minus. Subtrahera 1250 från -250.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

Dela -1500 med 50.

$$x=-30$$

Ekvationen har lösts.

$$x=20 x=-30$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Addera 15000 till båda ekvationsled.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

Subtraktion av -15000 från sig självt ger 0 som resultat.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

Subtrahera -15000 från 0.

$$25x^{2}+250x=15000$$

Dividera båda led med 25.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

Division med 25 tar ut multiplikationen med 25.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

Dela 250 med 25.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

Dela 15000 med 25.

$$x^{2}+10x=600$$

Dividera 10, koefficienten för termen x, med 2 för att få 5. Addera sedan kvadraten av 5 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

Kvadrera 5.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

Addera 600 till 25.

$$x^{2}+10x+25=625$$

Faktorisera x^{2}+10x+25. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Förenkla.

$$x+5=25 x+5=-25$$

Subtrahera 5 från båda ekvationsled.

$$x=20 x=-30$$