Lös 240-82x+12x^2=0

$$240 - 82 x + 12 x ^ { 2 } = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{41+\sqrt{1199}i}{12}\approx 3,416666667+2,885548282i$$

$$x=\frac{-\sqrt{1199}i+41}{12}\approx 3,416666667-2,885548282i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$12x^{2}-82x+240=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 12, b med -82 och c med 240 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{\left(-82\right)^{2}-4\times 12\times 240}}{2\times 12}$$

Kvadrera -82.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-4\times 12\times 240}}{2\times 12}$$

Multiplicera -4 med 12.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-48\times 240}}{2\times 12}$$

Multiplicera -48 med 240.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-11520}}{2\times 12}$$

Addera 6724 till -11520.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{-4796}}{2\times 12}$$

Dra kvadratroten ur -4796.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±2\sqrt{1199}i}{2\times 12}$$

Motsatsen till -82 är 82.

$$x=\frac{82±2\sqrt{1199}i}{2\times 12}$$

Multiplicera 2 med 12.

$$x=\frac{82±2\sqrt{1199}i}{24}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{82±2\sqrt{1199}i}{24} när ± är plus. Addera 82 till 2i\sqrt{1199}.

$$x=\frac{82+2\sqrt{1199}i}{24}$$

Dela 82+2i\sqrt{1199} med 24.

$$x=\frac{41+\sqrt{1199}i}{12}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{82±2\sqrt{1199}i}{24} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{1199} från 82.

$$x=\frac{-2\sqrt{1199}i+82}{24}$$

Dela 82-2i\sqrt{1199} med 24.

$$x=\frac{-\sqrt{1199}i+41}{12}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{41+\sqrt{1199}i}{12} x=\frac{-\sqrt{1199}i+41}{12}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-82x+240=0$$

Subtrahera 240 från båda ekvationsled.

$$12x^{2}-82x+240-240=-240$$

Subtraktion av 240 från sig självt ger 0 som resultat.

$$12x^{2}-82x=-240$$

Dividera båda led med 12.

$$\frac{12x^{2}-82x}{12}=-\frac{240}{12}$$

Division med 12 tar ut multiplikationen med 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{82}{12}\right)x=-\frac{240}{12}$$

Minska bråktalet \frac{-82}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x^{2}-\frac{41}{6}x=-\frac{240}{12}$$

Dela -240 med 12.

$$x^{2}-\frac{41}{6}x=-20$$

Dividera -\frac{41}{6}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{41}{12}. Addera sedan kvadraten av -\frac{41}{12} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{41}{6}x+\left(-\frac{41}{12}\right)^{2}=-20+\left(-\frac{41}{12}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{41}{12} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{41}{6}x+\frac{1681}{144}=-20+\frac{1681}{144}$$

Addera -20 till \frac{1681}{144}.

$$x^{2}-\frac{41}{6}x+\frac{1681}{144}=-\frac{1199}{144}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{41}{6}x+\frac{1681}{144}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{41}{12}\right)^{2}=-\frac{1199}{144}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{41}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1199}{144}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{41}{12}=\frac{\sqrt{1199}i}{12} x-\frac{41}{12}=-\frac{\sqrt{1199}i}{12}$$

Addera \frac{41}{12} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{41+\sqrt{1199}i}{12} x=\frac{-\sqrt{1199}i+41}{12}$$