Lös 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

Lös ut k

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0,75$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Dividera båda led med 2.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 12k^{2}+ak+bk+12. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Lösningen är det par som ger Summa 25.

$$a=9 b=16$$

Skriv om 12k^{2}+25k+12 som \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right).

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

Utfaktor 3k i den första och den 4 i den andra gruppen.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 4k+3 genom att använda distributivitet.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

Lös 4k+3=0 och 3k+4=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 24, b med 50 och c med 24 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Kvadrera 50.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Multiplicera -4 med 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

Multiplicera -96 med 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

Addera 2500 till -2304.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Dra kvadratroten ur 196.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

Multiplicera 2 med 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Lös nu ekvationen k=\frac{-50±14}{48} när ± är plus. Addera -50 till 14.

$$k=-\frac{36}{48}$$

Minska bråktalet \frac{-36}{48} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 12.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Lös nu ekvationen k=\frac{-50±14}{48} när ± är minus. Subtrahera 14 från -50.

$$k=-\frac{64}{48}$$

Minska bråktalet \frac{-64}{48} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 16.

$$k=-\frac{4}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Subtrahera 24 från båda ekvationsled.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

Subtraktion av 24 från sig självt ger 0 som resultat.

$$24k^{2}+50k=-24$$

Dividera båda led med 24.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

Division med 24 tar ut multiplikationen med 24.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

Minska bråktalet \frac{50}{24} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

Dela -24 med 24.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

Dividera \frac{25}{12}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{25}{24}. Addera sedan kvadraten av \frac{25}{24} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{25}{24} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

Addera -1 till \frac{625}{576}.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

Faktorisera k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Förenkla.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

Subtrahera \frac{25}{24} från båda ekvationsled.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$