Lös 24+5x-x^2=0

$$24 + 5 x - x ^ { 2 } = 0$$

Lös ut x

$$x=-3$$

$$x=8$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Skriv om polynomen på standardform. Ordna termerna från högsta till lägsta grad.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -x^{2}+ax+bx+24. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=5 ab=-24=-24$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Lösningen är det par som ger Summa 5.

$$a=8 b=-3$$

Skriv om -x^{2}+5x+24 som \left(-x^{2}+8x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Utfaktor -x i den första och den -3 i den andra gruppen.

$$-x\left(x-8\right)-3\left(x-8\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-8 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-8\right)\left(-x-3\right)$$

Lös x-8=0 och -x-3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=8 x=-3$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 5 och c med 24 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med 24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 25 till 96.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 121.

$$x=\frac{-5±11}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-5±11}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-5±11}{-2} när ± är plus. Addera -5 till 11.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Dela 6 med -2.

$$x=-3$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-5±11}{-2} när ± är minus. Subtrahera 11 från -5.

$$x=-\frac{16}{-2}$$

Dela -16 med -2.

$$x=8$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-3 x=8$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Subtrahera 24 från båda ekvationsled.

$$-x^{2}+5x+24-24=-24$$

Subtraktion av 24 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-x^{2}+5x=-24$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=-\frac{24}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=-\frac{24}{-1}$$

Dela 5 med -1.

$$x^{2}-5x=-\frac{24}{-1}$$

Dela -24 med -1.

$$x^{2}-5x=24$$

Dividera -5, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Addera 24 till \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktorisera x^{2}-5x+\frac{25}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Addera \frac{5}{2} till båda ekvationsled.

$$x=8 x=-3$$