Lös 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1,434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0,034846923$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 20, b med -28 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Kvadrera -28.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplicera -4 med 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplicera -80 med -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

Addera 784 till 80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

Dra kvadratroten ur 864.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Motsatsen till -28 är 28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Multiplicera 2 med 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} när ± är plus. Addera 28 till 12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

Dela 28+12\sqrt{6} med 40.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} när ± är minus. Subtrahera 12\sqrt{6} från 28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

Dela 28-12\sqrt{6} med 40.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Subtraktion av -1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

Subtrahera -1 från 0.

$$20x^{2}-28x=1$$

Dividera båda led med 20.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

Division med 20 tar ut multiplikationen med 20.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

Minska bråktalet \frac{-28}{20} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

Dividera -\frac{7}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{7}{10}. Addera sedan kvadraten av -\frac{7}{10} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{7}{10} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

Addera \frac{1}{20} till \frac{49}{100} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

Addera \frac{7}{10} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$