Lös 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

Lös ut x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 20x^{2}+ax+bx-1. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Lösningen är det par som ger Summa -1.

$$a=-5 b=4$$

Skriv om 20x^{2}-x-1 som \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Bryt ut 5x i 20x^{2}-5x.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Bryt ut den gemensamma termen 4x-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Lös 4x-1=0 och 5x+1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 20, b med -1 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplicera -4 med 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplicera -80 med -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Addera 1 till 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Dra kvadratroten ur 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

Motsatsen till -1 är 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Multiplicera 2 med 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±9}{40} när ± är plus. Addera 1 till 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Minska bråktalet \frac{10}{40} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 10.

$$x=\frac{1}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±9}{40} när ± är minus. Subtrahera 9 från 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Minska bråktalet \frac{-8}{40} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Subtraktion av -1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Subtrahera -1 från 0.

$$20x^{2}-x=1$$

Dividera båda led med 20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

Division med 20 tar ut multiplikationen med 20.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Dividera -\frac{1}{20}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{40}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{40} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{40} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Addera \frac{1}{20} till \frac{1}{1600} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Addera \frac{1}{40} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$