Lös 2z^2-iz+3=0

$$2 z ^ { 2 } - i z + 3 = 0$$

Lös ut z

$$z=\frac{3}{2}i=1,5i$$

$$z=-i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2z^{2}-iz+3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med -i och c med 3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{i±\sqrt{\left(-i\right)^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Kvadrera -i.

$$z=\frac{i±\sqrt{-1-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$z=\frac{i±\sqrt{-1-8\times 3}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med 3.

$$z=\frac{i±\sqrt{-1-24}}{2\times 2}$$

Addera -1 till -24.

$$z=\frac{i±\sqrt{-25}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur -25.

$$z=\frac{i±5i}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$z=\frac{i±5i}{4}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{i±5i}{4} när ± är plus. Addera i till 5i.

$$z=\frac{6i}{4}$$

Dela 6i med 4.

$$z=\frac{3}{2}i$$

Lös nu ekvationen z=\frac{i±5i}{4} när ± är minus. Subtrahera 5i från i.

$$z=\frac{-4i}{4}$$

Dela -4i med 4.

$$z=-i$$

Ekvationen har lösts.

$$z=\frac{3}{2}i z=-i$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}-iz+3=0$$

Subtrahera 3 från båda ekvationsled.

$$2z^{2}-iz+3-3=-3$$

Subtraktion av 3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2z^{2}-iz=-3$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2z^{2}-iz}{2}=-\frac{3}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$z^{2}+\frac{-i}{2}z=-\frac{3}{2}$$

Dela -i med 2.

$$z^{2}-\frac{1}{2}iz=-\frac{3}{2}$$

Dividera -\frac{1}{2}i, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{4}i. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{4}i till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$z^{2}-\frac{1}{2}iz+\left(-\frac{1}{4}i\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{4}i\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{4}i.

$$z^{2}-\frac{1}{2}iz-\frac{1}{16}=-\frac{3}{2}-\frac{1}{16}$$

Addera -\frac{3}{2} till -\frac{1}{16} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$z^{2}-\frac{1}{2}iz-\frac{1}{16}=-\frac{25}{16}$$

Faktorisera z^{2}-\frac{1}{2}iz-\frac{1}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(z-\frac{1}{4}i\right)^{2}=-\frac{25}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{4}i\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{25}{16}}$$

Förenkla.

$$z-\frac{1}{4}i=\frac{5}{4}i z-\frac{1}{4}i=-\frac{5}{4}i$$

Addera \frac{1}{4}i till båda ekvationsled.

$$z=\frac{3}{2}i z=-i$$