Lös 2z^2-23z+30

$$2 z ^ { 2 } - 23 z + 30$$

Faktorisera

$$\left(z-10\right)\left(2z-3\right)$$

Lösningssteg

Faktorisera uttrycket genom gruppering. Först måste uttrycket skrivas om som 2z^{2}+az+bz+30. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-23 ab=2\times 30=60$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 60.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

Lösningen är det par som ger Summa -23.

$$a=-20 b=-3$$

Skriv om 2z^{2}-23z+30 som \left(2z^{2}-20z\right)+\left(-3z+30\right).

$$\left(2z^{2}-20z\right)+\left(-3z+30\right)$$

Utfaktor 2z i den första och den -3 i den andra gruppen.

$$2z\left(z-10\right)-3\left(z-10\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen z-10 genom att använda distributivitet.

$$\left(z-10\right)\left(2z-3\right)$$

Steg med lösningsformeln

Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$2z^{2}-23z+30=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 2\times 30}}{2\times 2}$$

Kvadrera -23.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 2\times 30}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-8\times 30}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med 30.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-240}}{2\times 2}$$

Addera 529 till -240.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 289.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±17}{2\times 2}$$

Motsatsen till -23 är 23.

$$z=\frac{23±17}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$z=\frac{23±17}{4}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{23±17}{4} när ± är plus. Addera 23 till 17.

$$z=\frac{40}{4}$$

Dela 40 med 4.

$$z=10$$

Lös nu ekvationen z=\frac{23±17}{4} när ± är minus. Subtrahera 17 från 23.

$$z=\frac{6}{4}$$

Minska bråktalet \frac{6}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$z=\frac{3}{2}$$

Faktorisera det ursprungliga uttrycket med ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Ersätt x_{1} med 10 och x_{2} med \frac{3}{2}.

$$2z^{2}-23z+30=2\left(z-10\right)\left(z-\frac{3}{2}\right)$$

Subtrahera \frac{3}{2} från z genom att hitta en gemensam nämnare och sedan subtrahera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$2z^{2}-23z+30=2\left(z-10\right)\times \frac{2z-3}{2}$$

Tar ut den största gemensamma faktorn 2 i 2 och 2.

$$2z^{2}-23z+30=\left(z-10\right)\left(2z-3\right)$$

Beräkna

$$\left(z-10\right)\left(2z-3\right)$$