Lös 2z^2-2z+5=0

$$2 z ^ { 2 } - 2 z + 5 = 0$$

Lös ut z

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i=0,5+1,5i$$

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i=0,5-1,5i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med -2 och c med 5 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Kvadrera -2.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med 5.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-40}}{2\times 2}$$

Addera 4 till -40.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-36}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur -36.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±6i}{2\times 2}$$

Motsatsen till -2 är 2.

$$z=\frac{2±6i}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$z=\frac{2±6i}{4}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{2±6i}{4} när ± är plus. Addera 2 till 6i.

$$z=\frac{2+6i}{4}$$

Dela 2+6i med 4.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

Lös nu ekvationen z=\frac{2±6i}{4} när ± är minus. Subtrahera 6i från 2.

$$z=\frac{2-6i}{4}$$

Dela 2-6i med 4.

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Ekvationen har lösts.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Subtrahera 5 från båda ekvationsled.

$$2z^{2}-2z+5-5=-5$$

Subtraktion av 5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2z^{2}-2z=-5$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2z^{2}-2z}{2}=-\frac{5}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$z^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)z=-\frac{5}{2}$$

Dela -2 med 2.

$$z^{2}-z=-\frac{5}{2}$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{5}{2}+\frac{1}{4}$$

Addera -\frac{5}{2} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Faktorisera z^{2}-z+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{4}}$$

Förenkla.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}i z-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}i$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$