Lös 2x-3y=11text{and}3x+y=22

$$2 x - 3 y = 11 \text { and } 3 x + y = 22$$

Lös ut x, y

$$x=7$$

$$y=1$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$2x-3y=11,3x+y=22$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$2x-3y=11$$

Addera 3y till båda ekvationsled.

$$2x=3y+11$$

Dividera båda led med 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+11\right)$$

Multiplicera \frac{1}{2} med 3y+11.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{11}{2}$$

Ersätt x med \frac{3y+11}{2} i den andra ekvationen, 3x+y=22.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{11}{2}\right)+y=22$$

Multiplicera 3 med \frac{3y+11}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{33}{2}+y=22$$

Addera \frac{9y}{2} till y.

$$\frac{11}{2}y+\frac{33}{2}=22$$

Subtrahera \frac{33}{2} från båda ekvationsled.

$$\frac{11}{2}y=\frac{11}{2}$$

Dela båda ekvationsled med \frac{11}{2}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$y=1$$

Ersätt y med 1 i x=\frac{3}{2}y+\frac{11}{2}. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=\frac{3+11}{2}$$

Addera \frac{11}{2} till \frac{3}{2} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=7$$

Systemet har lösts.

$$x=7,y=1$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$2x-3y=11,3x+y=22$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\22\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}2&-3\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\22\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\22\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\22\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\22\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\22\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 11+\frac{3}{11}\times 22\\-\frac{3}{11}\times 11+\frac{2}{11}\times 22\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=7,y=1$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$2x-3y=11,3x+y=22$$

Gör 2x och 3x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 3 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 11,2\times 3x+2y=2\times 22$$

Förenkla.

$$6x-9y=33,6x+2y=44$$

Subtrahera 6x+2y=44 från 6x-9y=33 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$6x-6x-9y-2y=33-44$$

Addera 6x till -6x. Termerna 6x och -6x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-9y-2y=33-44$$

Addera -9y till -2y.

$$-11y=33-44$$

Addera 33 till -44.

$$-11y=-11$$

Dividera båda led med -11.

$$y=1$$

Ersätt y med 1 i 3x+y=22. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$3x+1=22$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$3x=21$$

Dividera båda led med 3.

$$x=7$$

Systemet har lösts.

$$x=7,y=1$$