Lös 2x-3y=-2text{and}4x+y=2A

$$2 x - 3 y = - 2 \text { and } 4 x + y = 2 A$$

Lös ut x, y

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$2x-3y=-2$$

Addera 3y till båda ekvationsled.

$$2x=3y-2$$

Dividera båda led med 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

Multiplicera \frac{1}{2} med 3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

Ersätt x med \frac{3y}{2}-1 i den andra ekvationen, 4x+y=2A.

$$4\left(\frac{3}{2}y-1\right)+y=2A$$

Multiplicera 4 med \frac{3y}{2}-1.

$$6y-4+y=2A$$

Addera 6y till y.

$$7y-4=2A$$

Addera 4 till båda ekvationsled.

$$7y=2A+4$$

Dividera båda led med 7.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Ersätt y med \frac{4+2A}{7} i x=\frac{3}{2}y-1. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{2A+4}{7}-1$$

Multiplicera \frac{3}{2} med \frac{4+2A}{7}.

$$x=\frac{3A+6}{7}-1$$

Addera -1 till \frac{6+3A}{7}.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

Systemet har lösts.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(-2\right)+\frac{3}{14}\times 2A\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\times 2A\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3A-1}{7}\\\frac{2A+4}{7}\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Gör 2x och 4x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 4 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-2\right),2\times 4x+2y=2\times 2A$$

Förenkla.

$$8x-12y=-8,8x+2y=4A$$

Subtrahera 8x+2y=4A från 8x-12y=-8 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$8x-8x-12y-2y=-8-4A$$

Addera 8x till -8x. Termerna 8x och -8x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-12y-2y=-8-4A$$

Addera -12y till -2y.

$$-14y=-8-4A$$

Addera -8 till -4A.

$$-14y=-4A-8$$

Dividera båda led med -14.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Ersätt y med \frac{4+2A}{7} i 4x+y=2A. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$4x+\frac{2A+4}{7}=2A$$

Subtrahera \frac{4+2A}{7} från båda ekvationsled.

$$4x=\frac{12A-4}{7}$$

Dividera båda led med 4.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

Systemet har lösts.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$