Lös 2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

Lös ut x, y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0,153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3,230769231$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$2x-3y+10=0$$

Subtrahera 10 från båda ekvationsled.

$$2x-3y=-10$$

Addera 3y till båda ekvationsled.

$$2x=3y-10$$

Dividera båda led med 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

Multiplicera \frac{1}{2} med 3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Ersätt x med \frac{3y}{2}-5 i den andra ekvationen, 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

Multiplicera 5 med \frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

Addera \frac{15y}{2} till -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

Addera -25 till 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Addera 21 till båda ekvationsled.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Dela båda ekvationsled med \frac{13}{2}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$y=\frac{42}{13}$$

Ersätt y med \frac{42}{13} i x=\frac{3}{2}y-5. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Multiplicera \frac{3}{2} med \frac{42}{13} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

Addera -5 till \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Systemet har lösts.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Gör 2x och 5x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 5 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Förenkla.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

Subtrahera 10x-2y+8=0 från 10x-15y+50=0 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

Addera 10x till -10x. Termerna 10x och -10x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-15y+2y+50-8=0$$

Addera -15y till 2y.

$$-13y+50-8=0$$

Addera 50 till -8.

$$-13y+42=0$$

Subtrahera 42 från båda ekvationsled.

$$-13y=-42$$

Dividera båda led med -13.

$$y=\frac{42}{13}$$

Ersätt y med \frac{42}{13} i 5x-y+4=0. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

Addera -\frac{42}{13} till 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Subtrahera \frac{10}{13} från båda ekvationsled.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Dividera båda led med 5.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Systemet har lösts.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$