Lös 2x-3x^2-4x+2x^2-3=7

$$2 x - 3 x ^ { 2 } - 4 x + 2 x ^ { 2 } - 3 = 7$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=-1-3i$$

$$x=-1+3i$$

Steg med lösningsformeln

Slå ihop 2x och -4x för att få -2x.

$$-2x-3x^{2}+2x^{2}-3=7$$

Slå ihop -3x^{2} och 2x^{2} för att få -x^{2}.

$$-2x-x^{2}-3=7$$

Subtrahera 7 från båda led.

$$-2x-x^{2}-3-7=0$$

Subtrahera 7 från -3 för att få -10.

$$-2x-x^{2}-10=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}-2x-10=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med -2 och c med -10 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med -10.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-40}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 4 till -40.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-36}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur -36.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±6i}{2\left(-1\right)}$$

Motsatsen till -2 är 2.

$$x=\frac{2±6i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{2±6i}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±6i}{-2} när ± är plus. Addera 2 till 6i.

$$x=\frac{2+6i}{-2}$$

Dela 2+6i med -2.

$$x=-1-3i$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±6i}{-2} när ± är minus. Subtrahera 6i från 2.

$$x=\frac{2-6i}{-2}$$

Dela 2-6i med -2.

$$x=-1+3i$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-1-3i x=-1+3i$$

Steg för kvadratkomplettering

Slå ihop 2x och -4x för att få -2x.

$$-2x-3x^{2}+2x^{2}-3=7$$

Slå ihop -3x^{2} och 2x^{2} för att få -x^{2}.

$$-2x-x^{2}-3=7$$

Lägg till 3 på båda sidorna.

$$-2x-x^{2}=7+3$$

Addera 7 och 3 för att få 10.

$$-2x-x^{2}=10$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-2x=10$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}-2x}{-1}=\frac{10}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-1}\right)x=\frac{10}{-1}$$

Dela -2 med -1.

$$x^{2}+2x=\frac{10}{-1}$$

Dela 10 med -1.

$$x^{2}+2x=-10$$

Dividera 2, koefficienten för termen x, med 2 för att få 1. Addera sedan kvadraten av 1 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-10+1^{2}$$

Kvadrera 1.

$$x^{2}+2x+1=-10+1$$

Addera -10 till 1.

$$x^{2}+2x+1=-9$$

Faktorisera x^{2}+2x+1. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+1\right)^{2}=-9$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{-9}$$

Förenkla.

$$x+1=3i x+1=-3i$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$x=-1+3i x=-1-3i$$