Lös 2x-3x^2-4=0

$$2 x - 3 x ^ { 2 } - 4 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,105541597i$$

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}\approx 0,333333333+1,105541597i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-3x^{2}+2x-4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -3, b med 2 och c med -4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrera 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera -4 med -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 12 med -4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-48}}{2\left(-3\right)}$$

Addera 4 till -48.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-44}}{2\left(-3\right)}$$

Dra kvadratroten ur -44.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{11}i}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 2 med -3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{11}i}{-6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{11}i}{-6} när ± är plus. Addera -2 till 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{11}i}{-6}$$

Dela -2+2i\sqrt{11} med -6.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{11}i}{-6} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{11} från -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i-2}{-6}$$

Dela -2-2i\sqrt{11} med -6.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3} x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+2x-4=0$$

Addera 4 till båda ekvationsled.

$$-3x^{2}+2x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Subtraktion av -4 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-3x^{2}+2x=-\left(-4\right)$$

Subtrahera -4 från 0.

$$-3x^{2}+2x=4$$

Dividera båda led med -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=\frac{4}{-3}$$

Division med -3 tar ut multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=\frac{4}{-3}$$

Dela 2 med -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{4}{-3}$$

Dela 4 med -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Dividera -\frac{2}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{4}{3}+\frac{1}{9}$$

Addera -\frac{4}{3} till \frac{1}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{11}{9}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{11}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{9}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{11}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{11}i}{3}$$

Addera \frac{1}{3} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$