Lös 2x(5-x)=x^2+3

$$2 x ( 5 - x ) = x ^ { 2 } + 3$$

Lös ut x

$$x=3$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 2x med 5-x.

$$10x-2x^{2}=x^{2}+3$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$10x-2x^{2}-x^{2}=3$$

Slå ihop -2x^{2} och -x^{2} för att få -3x^{2}.

$$10x-3x^{2}=3$$

Subtrahera 3 från båda led.

$$10x-3x^{2}-3=0$$

Skriv om polynomen på standardform. Ordna termerna från högsta till lägsta grad.

$$-3x^{2}+10x-3=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -3x^{2}+ax+bx-3. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=10 ab=-3\left(-3\right)=9$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 9.

$$1,9 3,3$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+9=10 3+3=6$$

Lösningen är det par som ger Summa 10.

$$a=9 b=1$$

Skriv om -3x^{2}+10x-3 som \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(x-3\right)$$

Utfaktor 3x i den första och den -1 i den andra gruppen.

$$3x\left(-x+3\right)-\left(-x+3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen -x+3 genom att använda distributivitet.

$$\left(-x+3\right)\left(3x-1\right)$$

Lös -x+3=0 och 3x-1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=3 x=\frac{1}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 2x med 5-x.

$$10x-2x^{2}=x^{2}+3$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$10x-2x^{2}-x^{2}=3$$

Slå ihop -2x^{2} och -x^{2} för att få -3x^{2}.

$$10x-3x^{2}=3$$

Subtrahera 3 från båda led.

$$10x-3x^{2}-3=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-3x^{2}+10x-3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -3, b med 10 och c med -3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-3\right)\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrera 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-3\right)\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera -4 med -3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+12\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 12 med -3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-36}}{2\left(-3\right)}$$

Addera 100 till -36.

$$x=\frac{-10±\sqrt{64}}{2\left(-3\right)}$$

Dra kvadratroten ur 64.

$$x=\frac{-10±8}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 2 med -3.

$$x=\frac{-10±8}{-6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-10±8}{-6} när ± är plus. Addera -10 till 8.

$$x=-\frac{2}{-6}$$

Minska bråktalet \frac{-2}{-6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-10±8}{-6} när ± är minus. Subtrahera 8 från -10.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Dela -18 med -6.

$$x=3$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1}{3} x=3$$

Steg för kvadratkomplettering

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 2x med 5-x.

$$10x-2x^{2}=x^{2}+3$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$10x-2x^{2}-x^{2}=3$$

Slå ihop -2x^{2} och -x^{2} för att få -3x^{2}.

$$10x-3x^{2}=3$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+10x=3$$

Dividera båda led med -3.

$$\frac{-3x^{2}+10x}{-3}=\frac{3}{-3}$$

Division med -3 tar ut multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{10}{-3}x=\frac{3}{-3}$$

Dela 10 med -3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{3}{-3}$$

Dela 3 med -3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-1$$

Dividera -\frac{10}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-1+\frac{25}{9}$$

Addera -1 till \frac{25}{9}.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{16}{9}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{4}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{4}{3}$$

Addera \frac{5}{3} till båda ekvationsled.

$$x=3 x=\frac{1}{3}$$