Lös 2x^2-x-1<0

$$2 x ^ { 2 } - x - 1 < 0$$

Lös ut x

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

Steg med lösningsformeln

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-x-1=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 2 med a, -1 med b och -1 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{1±3}{4}$$

Lös ekvationen x=\frac{1±3}{4} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$2\left(x-1\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)<0$$

För att produkten ska vara negativ, x-1 och x+\frac{1}{2} måste vara av motsatta tecken. Överväg om x-1 är positivt och x+\frac{1}{2} är negativt.

$$x-1>0 x+\frac{1}{2}<0$$

Detta är falskt för alla x.

$$x\in \emptyset$$

Överväg om x+\frac{1}{2} är positivt och x-1 är negativt.

$$x+\frac{1}{2}>0 x-1<0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\in \left(-\frac{1}{2},1\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$