Lös 2x^2-5x-9=0

$$2 x ^ { 2 } - 5 x - 9 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{97} + 5}{4} \approx 3,71221445$$

$$x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}\approx -1,21221445$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}-5x-9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med -5 och c med -9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrera -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med -9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+72}}{2\times 2}$$

Addera 25 till 72.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{97}}{2\times 2}$$

Motsatsen till -5 är 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{97}}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{5±\sqrt{97}}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±\sqrt{97}}{4} när ± är plus. Addera 5 till \sqrt{97}.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±\sqrt{97}}{4} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{97} från 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x-9=0$$

Addera 9 till båda ekvationsled.

$$2x^{2}-5x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Subtraktion av -9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}-5x=-\left(-9\right)$$

Subtrahera -9 från 0.

$$2x^{2}-5x=9$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{9}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{9}{2}$$

Dividera -\frac{5}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{9}{2}+\frac{25}{16}$$

Addera \frac{9}{2} till \frac{25}{16} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{97}{16}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{97}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{16}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{97}}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{97}}{4}$$

Addera \frac{5}{4} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}$$